Ce chapitre nécessite de comprendre les notions de Valeur propre, d'Espace vectoriel et de Polynomes.

Définition

Soit \(f\) un endomorphisme de \(E\), on dit qu'on réduit l'endomorphisme quand on trouve une base \(B\) de \(E\) tel que \(Mat_B(f)\) soit diagonale.

Motivations

Les matrices diagonales sont plus faciles a manipuler. Ainsi, dans certain contextes comme les puissances de matrices ou les résolutions de systèmes différentiels.

Méthode

Dans toute la suite, on considère \(f\) un endomorphisme de \(E\), ainsi que \(\chi_f\) le polynôme caractéristique.
Soit \(A\) la matrice associée a \(f\) dans la base canonique.
1. On calcul \(\chi_f\). Si \(\chi_f\) n'est pas scindé, on arrête là[^1], sinon, on note \(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\) les valeurs propres de \(f\) et \(m_{\lambda_1}, m_{\lambda_2}, ..., m_{\lambda_n}\) leurs multiplicités.
2. Pour chaque espace propre \(E_{\lambda_i}\) on calcul une base \(\mathcal{B}_i\). Si, pour n'importe quel \(i\), on a \(dim(E_{\lambda_i}) < m_{\lambda_i}\), on arrête là.
3. On pose \(\mathcal{B} = (\mathcal{B_1}, \mathcal{B_2}, ..., \mathcal{B_n})\). \(\mathcal{B}\) est alors une base de \(E\). Alors, on pose \(\mathcal{C}\) la base canonique de \(E\):
\[ D = P^{-1}AP\quad\text{avec}\quad P = P_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \]
4. On trouve alors que \(D\) est une matrice diagonale de la forme \(D = Diag(\underbrace{\lambda_1,...,\lambda_1}_{m_{\lambda_1} \text{ fois} } , \underbrace{\lambda_2,...,\lambda_2}_{m_{\lambda_2} \text{ fois} },..., \underbrace{\lambda_n,...,\lambda_n}_{m_{\lambda_n} \text{ fois} })\).

En des termes plus algorithmiques, on peu imaginer une fonction pour diagonaliser une matrice:

def Diagonalisation(A):
	Xa = PolynomeCar(A) #Calcul le polynome caracteristique de A
	
	if not scinde(Xa): #si Xa n'est pas scindé, on stop
		print("A ne peut pas etre diagonalisée")
		return 
	
	#On obtien une liste des valeurs propres et de leurs multiplicités.
	vp, mul = ValeursPropres(Xa) 
	Bases = []
	diagonale = []
	for i in range(len(vp)):
		#EspacePropre retourne l'espace propre liée a une matrice et a 
		#une valeur propre.
		if dim(EspacePropre(A, vp[i])) < mul[i]):
			 print("A ne peut pas etre diagonaliser")
			 return
		else:
			Bases.append(EspacePropre(A, vp[i])).base)
			for j in range(mul[i]):
				diagonale.append(vp[i])
	
	D = Diag(diagonale)
	P = MatPassage(A, D)
	
	print("A a été diagonalisée")
	return (D,P)

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-[^1]: En effet, si le polynôme caractéristique n'est pas scindé sur \(\mathbb{K}\), alors l'endomorphisme n'est pas diagonalisable. En voici la preuve.